Есть классическая задача о разрезании пиццы, в которой спрашивается количество разрезов пиццы, чтобы в итоге получилось N кусков. Фактически это задача о разбиении плоскости прямыми. В “Конкретной математике” есть вот такое объяснение:

Я читал его много раз, но так и не мог понять – почему именно так?

В итоге, я нашел вот эту страницу – Dividing The Plane, где есть такое предложение:

Let’s say that we’ve got n lines (for some arbitrary n). And we add an n+1th line. That line goes through region-line-region-line-…-line-region. It went through n lines and n+1 regions (assuming that all of the lines intersect). For each region that it went through, it added a region (split that region into two regions).

И вот эта фраза на пальцах объясняет, почему именно n-я прямая добавляет n регионов. Идея тут в визуализации прохода новой прямой через существующие регионы.