Многие знают, что происходит при выполнении присваивания n &= (n - 1); просто потому, что это весьма распространенный шаблон, и для чего может понадобиться выполнение его в цикле, пока n не станет нулем.
Интересно другое: четкое математическое (и/или алгоритмическое) объяснение, почему это работает именно так, строгое доказательство.
Update
Чтобы разобраться в вопросе надо понять, что является корнем недопонимания.
Для людей, не часто имеющих дело с двоичной системой, обычно не совсем очевидна суть трансформации внутреннего двоичного представления числа при выполнении арифметической операции в десятичной нотации. Кажется, что если вычесть единицу, то расположение битов после операции будет иметь мало общего с тем, что было до вычитания. И дальнейшее выполнение and вообще не имеет смысла.
С точки зрения битового представления любого числа, есть только два случая:
Если число нечетное, на конце будет единица: xx...xx1. Вычитание из такого числа даст: хх...хх0. Поэтому (xx...xx1) & (xx...xx0) даст (xx...xx0). Фактически, мы убрали младший бит.
Если число четное, на конце будет ноль (или несколько нулей): xx...xx100...00. Видно, что вычитание единицы из такого числа однозначно не изменит разряды xx...xx, стоящие слева после первой единицы. Более того, результат вычитания единицы однозначно предсказуем: xx...xx011...11. Теперь точно видно, что будет после операции and: (xx...xx100...00) & ("xx...xx011...11") даст xx...xx000...00. То есть мы убрали единицу из самого младшего ненулевого разряда.
Теперь ясно видно, что именно проиходит в присваивании n &= (n - 1);. А именно, обнуление самого младшего ненулевого разряда.
Использование этого трюка в цикле, пока n не равно нулю, позволяет подсчитать количество ненулевых бит. На каждой итерации мы “выбиваем” ровно один бит, поэтому число итераций будет равно количеству единиц в n.